৬ষ্ঠ শ্রেণীর গণিত
পাটিগণিত-১.২
বিভাজ্যতা সম্পর্কে সাধারণ ধারণা
১ দ্বারা বিভাজ্য : সকল সংখ্যা ১ দ্বারা বিভাজ্য।
২ দ্বারা বিভাজ্য : কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি (০) শূন্য অথবা জোড় সংখ্যা হলে, প্রদত্ত সংখ্যাটি ২ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
যেমন : ২৩৪৫৬ সংখ্যটির একক স্থানীয় অংক ৬। সুতরাং, সংখ্যাটি ২ দ্বারা বিভাজ্য।
৩ দ্বারা বিভাজ্য : কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগফল ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
যেমন : ৮৫৩৫ সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল (৮ + ৫ + ৩ + ৫) = ২১,
২১ যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং, ৮৫৩৫ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
যোগফল যদি খুব বড়ো হয়, তাহলে প্রাপ্ত যোগফলটিকে আবার একই সূত্রে ফেলে দেখতে হবে তা ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয় কিনা। এভাবে চালিয়ে যেতে হবে। যেমন, ৯৮৭৯৮৭৯৮৭ সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল ৭২। আবার ৭২ সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল ৯। এভাবে সর্বশেষ প্রাপ্ত যোগফল ৯ সংখ্যাটি যেহেতু ৩ দ্বারা বিভাজ্য, সুতরাং ৯৮৭৯৮৭৯৮৭ সংখ্যাটিও ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
৪ দ্বারা বিভাজ্য : কোনো সংখ্যার একক ও দশক স্থানীয় অঙ্ক দুটি দ্বারা গঠিত সংখ্যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে। আবার একক ও দশক স্থানের অঙ্ক ০ হলেও সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
যেমন : ৫২৮৪ সংখ্যাটির একক ও দশক স্থানীয় অঙ্ক ৮৪, যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং, ৫২৮৪ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা নিঃশেষে বিভাজ্য।
আবার, ৬৩০০ সংখ্যাটির একক ও দশক স্থানীয় অঙ্ক ০, যা ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
৫ দ্বারা বিভাজ্য : কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ০ অথবা ৫ হলে সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
যেমন : ৮৭৭৫ সংখ্যার একক স্থানীয় অংক ৫, যা ৫ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং, ৮৭৭৫ সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য।
আবার, ৫০৭০ সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ০। সুতরাং, ৫০৭০ সংখ্যাটি ৫ দ্বারা বিভাজ্য।
৬ দ্বারা বিভাজ্য : কোনো সংখ্যা ২ ও ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে, সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।
যেমন : ৭৮১২ সংখ্যাটির একক স্থানীয় অঙ্ক ২, যা জোড় সংখ্যা হওয়ায় ২ দ্বারা বিভাজ্য। এবং সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল (৭ + ৮ + ১ + ২) = ১৮, যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য। ৭৮১২ সংখ্যাটি ৬ দ্বারা বিভাজ্য।
৭ দ্বারা বিভাজ্য : সূত্র – ১ : একক স্থানীয় অঙ্কটিকে ২ দিয়ে গুণ করে, গুণফলকে বাকি সংখ্যা থেকে বিয়োগ করি। বিয়োগফল ৭ দ্বারা বিভাজ্য হলে ঐ সংখ্যাটিও ৭ দ্বারা বিভাজ্য।
যেমন : ৮৫৪-এর ক্ষেত্রে, ৮৫ – (৪ × ২) = ৮৫ – ৮ = ৭৭। এখানে ৭৭ সংখ্যাটি ৭ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ায় ৮৫৪ সংখ্যাটিও ৭ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
বড়ো সংখ্যার ক্ষেত্রে একই নিয়মের পুনরাবৃত্তি করতে হবে। যেমন,
২৩৪৫৭-এর ক্ষেত্রে, ২৩৪৫ – (৭ × ২) = ২৩৩১
২৩৩১-এর ক্ষেত্রে, ২৩৩ – (১ × ২) = ২৩১
২৩১-এর ক্ষেত্রে, ২৩ – (১ × ২) = ২১
২১ সংখ্যাটি ৭ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ায়, ২৩৪৫৭-সংখ্যাটিও ৭ দ্বারা বিভাজ্য।
সূত্র ২ : একক স্থানীয় অঙ্কটিকে ৫ দিয়ে গুণ করে, গুণফলকে বাকি সংখ্যার সাথে যোগ করি। যোগফল ৭ দ্বারা বিভাজ্য হলে ঐ সংখ্যাটিও ৭ দ্বারা বিভাজ্য।
যেমন : ৮৫৪-এর ক্ষেত্রে, ৮৫ + (৪ × ৫) = ৮৫ + ২০ = ১০৫
১০৫-এর ক্ষেত্রে, ১০ + (৫ × ৫) = ১০ + ২৫ = ৩৫
৩৫ সংখ্যাটি ৭ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ায় ৮৫৪ সংখ্যাটিও ৭ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
৮ দ্বারা বিভাজ্য : সূত্র – ১ : কোনো সংখ্যার শেষে/সর্বডানে ০০০ (তিনটি শূন্য) থাকলে উক্ত সংখ্যাটি ৮ দ্বারা বিভাজ্য।
যেমন : ১০০০, ২০০০ ইত্যাদি।
সূত্র – ২ : কোনো সংখ্যার শতক স্থানীয় অঙ্কটি জোড় হলে, ঐ সংখ্যার একক ও দশক স্থানীয় অঙ্কগুলো মিলে যে সংখ্যা তৈরি হয়, তা যদি ৮ দ্বারা বিভজ্য হয়, তবে পুরো সংখ্যাটিও ৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
যেমন : ৬৩২ সংখ্যাটির শতক স্থানীয় অঙ্ক ৬, যা একটি জোড় সংখ্যা। আবার সংখ্যাটির শেষ দুটি অঙ্ক মিলে ৩২ সংখ্যাটি হয়, যা ৮ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং ৬৩২ সংখ্যাটিও ৮ দ্বারা বিভাজ্য।
সূত্র – ৩ : কোনো সংখ্যার শতক স্থানীয় অঙ্কটি বিজোড় হলে, ঐ সংখ্যার একক ও দশক স্থানীয় অঙ্কগুলো মিলে যে সংখ্যা তৈরি হয়, তার সাথে ৪ যোগ করে যোগফল যদি ৮ দ্বারা বিভজ্য হয়, তবে পুরো সংখ্যাটিও ৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
যেমন : ৩৪৪ সংখ্যাটির শতক স্থানীয় অঙ্ক ৩, যা একটি বিজোড় সংখ্যা। আবার সংখ্যাটির শেষ দুটি অঙ্ক মিলে ৪৪ সংখ্যাটি হয়, যার সাথে ৪ যোগ করলে যোগফল ৪৮ হয়। ৪৮ সংখ্যাটি ৮ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং ৩৪৪ সংখ্যাটিও ৮ দ্বারা বিভাজ্য।
সূত্র – ৪ : কোনো সংখ্যার শেষ তিনটি অঙ্ক দ্বারা গঠিত সংখ্যাটি ৮ দ্বারা বিভাজ্য হলে, উক্ত সংখ্যাটিও ৮ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
যেমন : ১২৩৪৪ সংখ্যার শেষ তিনটি অঙ্কের দ্বারা গঠিত সংখ্যা হলো ৩৪৪। যেহেতু ৩৪৪ সংখ্যাটি ৮ দ্বারা বিভাজ্য, সুতরাং ১২৩৪৪ সংখ্যাটিও ৮ দ্বারা বিভাজ্য।
৯ দ্বারা বিভাজ্য : কোনো সংখ্যার অঙ্কগুলোর যোগাফল ৯ দ্বারা বিভাজ্য হলে, প্রদত্ত সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
যেমন : ১৭৩৭ সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোগফল (১ + ৭ + ৩ + ৭) = ১৮, যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য। ১৭৩৭ সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
১০ দ্বারা বিভাজ্য : কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্কটি ০ (শূন্য) হলে তা ১০ দ্বারা বিভাজ্য।
যেমন : ৩০, ৫০০ ইত্যাদি।